Ir al contenido principal

Ecuaciones Lineales Simultáneas

por William Read
Un sistema de n ecuaciones lineales simultáneas con n incógnitas tiene una solución única si las n ecuaciones son linealmente independientes. en ese caso el determinante de la matriz de coeficientes es diferente de cero.

Cuando el sistema es pequeño, la solución se puede obtener por métodos manuales sencillos. Sistemas mas grandes hacen uso de algoritmos bien conocidos y desarrollados como los métodos directos del algoritmo de Gauss y derivados o por métodos iterativos.

En ingeniería aparecen frecuentemente sistemas de ecuaciones lineales simétricos grandes que además son positivos definidos con términos predominantes en la diagonal principal. Estos sistemas son suceptibles de resolverse con algoritmos computacionales sencillos y eficientes, en especial cuando éstos son simétricos alrededor de la diagonal prinipal.

Además existen los sistemas simétricos en banda para los que se han desarrollado técnicas computacionales específicas que hacen el proceso aún mas eficiente. La idea es aprovechar el almacenamiento de coeficientes al máximo.

Como el proceso de solución de los S.S. en B. se basa en la reducción primeramente a una matriz triangular y en esta reducción cada fila de la matriz modifica a las filas por debajo de ella, el caracter de en banda implica que solamente ibanda ecuaciones serán modificadas por debajo de cada fila. Esto conduce a métodos de solución por bloques que permiten resolver sistemas aún mas grandes, llevando a la memoria central cada vez el bloque a resolver desde la memoria periférica (disco duro, etc.).

En todos estos casos, el almacenamiento de la matriz se efectúa en arreglos matriciales, por lo general, con dos índices.

En muchas ocasiones, las matrices simétricas en banda se pueden catalogar como escasamente pobladas, es decir, contienen mas términos iguales a cero que términos diferentes de cero. Con esta premisa en mente el autor desrrolló en 1992 un algoritmo modificado para excluír los ceros del almacenamiento de los términos de la matriz, evitándo al mismo tiempo las operaciones innecesarias por ese concepto.

Así nació la idea de aplicar el concepto del árbol binario en vez de la matriz. Usando un árbol de raíces de árboles se consigue el equivalente a la matriz de dos índices. La búsqueda es super-eficiente: buscar la fila es encontrar la raíz del árbol de columnas, los términos cero dan nil y no efectúan operaciones. Claro que hubo que programar una cantidad de funiones de apoyo adicionales, pero éstas resultaron sencillas y poderosas al apoyarse en algoritmos recursivos.

Para probar el método, programamos la construcción de un sistema de ecuaciones todo 10.0 en la diagonal principal, todo 1.0 a ambos lados de la diagonal principal; los términos de mano derecha dan la suma de los coeficientes de la fila. La solución debe ser todo 1.0 en el vector resultante.
Ponemos aquí una versión escrita en Delphi y comprimida en rar para los lectores que desen experimentar; el archivo se llama "BlessTest" (de Banded Linear Equation System Solver). Si a algún aficcionado a la programación le interesa, le hacemos llegar archivos bless.h y bless.dll para programar en c++. escribirnos a info@ingenieriaread.net .

Comentarios

  1. Tengo desarrollado un método para resolver sistemas simétricos de ecuaciones lineales y en base a esta solución también resolver cualquier sistema lineal de ecuaciones de n ecuaciones linealmente independientes con n incógnitas. angel.villota@epn.edu.ec, apvillota@espe.edu.ec

    ResponderEliminar
  2. Las ecuaciones son importantes para cualquier calculo en la ingenieria, son un parte logica del individuo. Todos los humanos usamos las ecuaciones de una forma u otra. Aprender como Resolver Ecuaciones es algo bien interesante y divertido, gracias profegracias por el aporte

    ResponderEliminar
  3. Las ecuaciones son importantes para cualquier calculo en la ingenieria, son un parte logica del individuo. Todos los humanos usamos las ecuaciones de una forma u otra. Aprender como Resolver Ecuaciones es algo bien interesante y divertido, gracias profegracias por el aporte

    ResponderEliminar

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

Arcillas Expansivas

ESTUDIO DE GEOTECNIA EN ARCILLAS EXPANSIVAS, USANDO LOS RESULTADOS DE PRUEBAS DE IDENTIFICACION Y DE PROPIEDADES FISICAS DEL SUBSUELO PARA DETERMINAR CUANTITATIVAMENTE LA PRESION DE EXPANSION DE LOS SUELOS ENCONTRADOS EN UN SITIO DE UN EDIFICIO DE APARTAMENTOS EN LA AFUERAS DE LA CIUDAD DE SANTO DOMINGO.   Ing. Gustavo R. Bisonó Pichardo.    CONTENIDO 1. INTRODUCCION 2. GEOLOGIA 3. TRABAJOS DE CAMPO 4. ORDENAMIENTO ESTATIGRAFICO 5. RESULTADOS DE PRUEBAS DE LABORATORIO 6. FORMULAS USADAS EN LA DETERMINACION DE LA CAPACIDAD PORTANTE. 7. SISMICIDAD 8. VALORES DE CAPACIDAD PORTANTE. PRESION DE EXPANSION Y   RECOMENDACIONES PARA EL TRATAMIENTO DE LOS SUELOS EN LOS 2   BLOQUES DE CONSTRUCCION  9. CONDICIONES GENERALES 1. INTRUDUCCION Este Estudio de Geotecnia ha sido realizado en el sub suelo, perteneciente a un de edificio para apartamentos en las afueras de la ciudad de Santo Domingo, con la finalidad de investigar las propiedades ingenieriles de l

Manual de Puentes / Generalidades

por William A. Read Espaillat Elementos que conforman un puente Llamamos puente a toda construcción cuya finalidad es salvar un vano. A un puente lo definimos con mas detalle con calificativos apropiados; en la vida civil un nombre , una localización, un uso, etc son medios para identificar la obra de que se trata. En ingeniería civil los puentes también reciben calificativos diversos; la denominación técnica correcta para un puente debe ser 1. por el uso de la vía superior, 2. por el material usado para construírlo y 3. por el sistema estático utilizado; en ese orden. Aplicando esta regla fundamental en la descripción de un puente no hay lugar para ambigüedades, por ej. “puente de ferrocarril de hormigón armado en arco”, “puente carretero de acero de cables diagonales” y “puente tubo de acero y hormigón armado, colgante”, etc. Obsérvese que la vía inferior, que puede ser una calle, un río, una vía ferrea o sencillamente un valle, no ofrecen absolutamente nada a la descrip

Blasones Antiguos de La Hispaniola

por William Read La información de este artículo está tomada en gran parte del libro "Blasones de La Española" de Emilio Rodríguez Demorizi. Las ilustraciones se tomaron del libro "Banderas y Escudos Dominicanos" de Ramiro Matos González y son los expuestos en el Museo de las Casas Reales en Santo Domingo. En el año 1508, los concejos, regidores, caballeros, oficiales y hombres buenos de La Española se dirigieron a la metrópoli por medio de sus procuradores, Diego de Manresa y el Bachiller Antonio Serrano, en solicitud de armas nobiliarias para cada una de la Villas de la Isla, a lo que accedió el Rey por Privilegio Real del 7 de diciembre de 1508. Además de la Isla, que también recibió sus armas, las villas blasonadas fueron las siguientes, citadas en el mismo orden del Privilegio Real. A la isla "La Española", que desde entonces (1508) se llamó Santo Domingo, le fueron señaladas por armas: un escudo de gules con una banda blanca atravesada con d